Question

如图，定义：若双曲线y= (k＞0)与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y= (k＞0)的对径．
(1)求双曲线y=的对径；
(2)若双曲线y= (k＞0)的对径是10，求k的值；
(3)仿照上述定义，定义双曲线y= (k＜0)的对径．

Answer 1

解：过A点作AC⊥x轴于C，如图，
(1)解方程组，得，，
∴A点坐标为(1，1)，B点坐标为(-1，-1)，
∴OC＝AC＝1，
∴OA＝OC＝，
∴AB＝2OA＝2，
∴双曲线y＝的对径是2；
(2)∵双曲线的对径为10，即AB＝10，OA＝5，
∴OA＝OC＝AC，
∴OC＝AC＝5，
∴点A坐标为(5，5)，
把A(5，5)代入双曲线y＝(k＞0)得k＝5×5＝25，即k的值为25；
(3)若双曲线y=(k＜0)与它的其中一条对称轴y=-x相交于A、B两点，
则线段AB的长称为双曲线y＝(k＞0)的对径．