Question

15．在M（1，1）处设一个瞅望塔，船只在附近区域内的航线总沿某条直线l：y=kx+（1-3k）（k为实数），则瞭望半径r最小应大于4才可保证不论k为何值，经过的船只总有一段路径会被监测到．

Answer 1

分析 设P（x，y）为圆上一点，则有（x-1）²+（y-1）²=r²，由$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}={r}^{2}}\\{y=kx+（1-3k）}\end{array}\right.$，消去y得到，（k²+1）x²-（2+6k²）x+9k²+1-r²=0，因为△=（2+6k²）²-4（k²+1）（9k²+1-r²）=4k²（r²-16）+4r²，由题意r²＞16时，可保证不论k为何值，经过的船只总有一段路径会被监测到，解不等式即可．

解答 解：设P（x，y）为圆上一点，则有（x-1）²+（y-1）²=r²，
由$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}={r}^{2}}\\{y=kx+（1-3k）}\end{array}\right.$，
消去y得到，（k²+1）x²-（2+6k²）x+9k²+1-r²=0，
∵△=（2+6k²）²-4（k²+1）（9k²+1-r²）=4k²（r²-16）+4r²，
由题意r²＞16时，可保证不论k为何值，经过的船只总有一段路径会被监测到．
∴r＞4时，可保证不论k为何值，经过的船只总有一段路径会被监测到．
故答案为r＞4．

点评 本题考查一次函数的应用、方程组、一元二次方程的根判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，题目比较难，属于中考填空题中的压轴题．