Question

如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）证明：∠BAE=∠FEC；
（2）证明：△AGE≌△ECF；
（3）求△AEF的面积．

Answer 1

分析：（1）由于∠AEF是直角，则∠BAE和∠FEC同为∠AEB的余角，由此得证；
（2）根据正方形的性质，易证得AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°；再加上（1）得出的相等角，可由ASA判定两个三角形全等；
（3）在Rt△ABE中，根据勾股定理易求得AE²；由（2）的全等三角形知：AE=EF，即△AEF是等腰Rt△，因此其面积为AE²的一半，由此得解．

解答：（1）证明：∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°；（1分）
在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC；（3分）

（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°-45°=135°；
又∵CF是∠DCH的平分线，
∠ECF=90°+45°=135°；（4分）
在△AGE和△ECF中，

AG=EC ∠AGE=∠ECF=135o ∠GAE=∠FEC

；
∴△AGE≌△ECF；（6分）

（3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；
又∵∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；（7分）
∵AB=a，E为BC中点，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

AB=

1

2

a，
根据勾股定理得：AE=

a2+( 1 2 a)2

=

5

2

a，
∴S_△AEF=

5

8

a²．（9分）

点评：此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等；综合性较强，难度适中．