Question

13．如图，一只蜘蛛在等腰Rt△ABC钢梁上织网纲，∠BAC=90°，AB=AC=8，E在AB上，BE=2，要在顶梁柱AD（中线）上定一点F，从B点到F点拉网纲，再从F点到E点拉网纲．
（1）F点在AD（中线）上何处时网纲（BF+FE）最短，并证明．
（2）在（1）中，求最短网纲（BF+FE）的长度．
（3）在AB上还有点E₁、E₂，已知BE=EE₁=E₁E₂=E₂A=2，现在蜘蛛要在B、E两点之间，E、E₁两点之间，E₁、E₂两点之间都要到顶梁柱AD上定一次点拉网纲，直到E₂点结束，求这些网纲之和最短时的长度？

Answer 1

分析 （1）利用轴对称求最短路径得出F点位置，进而利用三角形三边关系得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理的出答案；
（3）利用（2）中解题思路，结合勾股定理求出答案．

解答 解：（1）如图1：作E点关于直线AD的对称点E′，连接BE′，交AD于点F，
F点即为所求，
证明：由对称的性质可得：EF=FE′，此时BE′在一条直线上，在AD上任取一点与B，E′构成三角形，利用三角形两边之和大于第三边可得BE′最小，即可得出，BF+FE最短；

（2）如图1，过点E′，作E′N⊥BC于点N，
∵∠BAC=90°，AB=AC=8，
∴BC=8$\sqrt{2}$，
∵BE=2，则CE′=2，
∴E′C=NC=$\sqrt{2}$，
∴BN=7$\sqrt{2}$，
在△BNE′中，BE′=$\sqrt{（7\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=10；

（3）如图2，由（2）可得：BF+EF=10，
同理可得：EF₁+E₁F₁=EM=$\sqrt{52}$=2$\sqrt{13}$，E₁K=E₁F₂+E₂F₂=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
故这些网纲之和最短时的长度和为：10+2$\sqrt{13}$+2$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了利用轴对称取最短路线以及勾股定理，正确利用轴对称求出F点位置是解题关键．