Question

7．在平面直角坐标系中，O为原点，A为x轴正半轴上的动点，经过点A（t，0）作垂直于x轴的直线l，在直线l上取点B，点B在第一象限，AB=4，直线OB：y₁=kx（k为常数）．
（1）当t=2时，求k的值；
（2）经过O，A两点作抛物线y₂=ax（x-t）（a为常数，a＞0），直线OB与抛物线的另一个交点为C．
①用含a，t的式子表示点C的横坐标；
②当t≤x≤t+4时，|y₁-y₂|的值随x的增大而减小；当x≥t+4时，|y₁-y₂|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式并直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）找出当t=2时，B点的坐标，将其代入直线OB：y₁=kx中即可；
（2）①用t表示出直线OB的关系式，令y₁=y₂即可用含a，t的式子表示点C的横坐标；
②找出y₁-y₂的关系式，发现为一个开口向下的抛物线，结合给定条件能够得知，抛物线的对称轴不超过x=t，且抛物线与x轴的另一个交点为（t+4，0），由此可得出a与t的关系式并能知道t的取值范围．

解答 解：（1）当t=2时，点A的坐标为（2，0），
∵经过点A（2，0）作垂直于x轴的直线l，在直线l上取点B，点B在第一象限，AB=4，
∴点B的坐标为（2，4）．
∵点B在直线OB：y₁=kx（k为常数）上，
∴有4=2k，解得：k=2．
（2）①点B（t，4）在直线OB：y₁=kx上，
∴有4=kt，解得：k=$\frac{4}{t}$，
∴y₁=$\frac{4}{t}$x．
令y₁=y₂，即$\frac{4}{t}$x=ax（x-t），
解得：x=0，或者x=t+$\frac{4}{at}$．
故点C的横坐标x=t+$\frac{4}{at}$．
②y₁-y₂=$\frac{4}{t}$x-ax（x-t）=-ax²+（at+$\frac{4}{t}$）x．
∵a＞0，
∴-a＜0，函数图象开口向下，函数图象大体如下图．

∵当t≤x≤t+4时，|y₁-y₂|的值随x的增大而减小；当x≥t+4时，|y₁-y₂|的值随x的增大而增大，
∴二次函数y₁-y₂的对称轴在x=t的左侧或者重合，而且二次函数y₁-y₂与x轴的另一个交点为（t+4，0）．
∵y₁-y₂=-ax²+（at+$\frac{4}{t}$）x=-ax（x-t-$\frac{4}{at}$），
∴有t+$\frac{4}{at}$=t+4，
解得：a=$\frac{1}{t}$．
二次函数对称轴$\frac{at+\frac{4}{t}}{2a}$≤t，即at²≥4，
∵at=1，
∴t≥4．
故当t≤x≤t+4时，|y₁-y₂|的值随x的增大而减小；当x≥t+4时，|y₁-y₂|的值随x的增大而增大时，a与t的关系式a=$\frac{1}{t}$（t≥4）．

点评 本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是：（1）找出B点坐标代入直线OB关系式；（2）①由B点坐标表示出直线OB关系式，利用直线与抛物线交点是C可找出C点坐标；②由二次函数的图象的性质可以分析得知抛物线与x轴交点为原点和（t+4，0），结合单调性可得出t的取值范围．