Question

11．已知△ABC，D，E分别为AB，BC上的中点，F，G为AC的三等分点．连接EF，DG交于K．连接AK，CK，求证：四边形ABCK为平行四边形．

Answer 1

分析 首先延长KE、AB相交于M，连接BG，根据D，E分别为AB，BC上的中点，F，G为AC的三等分点可得$\frac{KG}{DG}$=$\frac{CG}{AG}$，然后可证出△CKG∽△ADG，根据相似三角形的性质可得∠DAG=∠KCG，$\frac{KC}{AD}=\frac{KG}{DG}$=2，进而可得KC∥AB，KC=2AD=AB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论．

解答 证明：延长KE、AB相交于M，连接BG，
∵CF=FG，CE=BE，
∴EF∥BG，
∵AG=FG，
∴MB=AB=2BD，
∵BG∥EF，
∴BG∥KM，
∴$\frac{KG}{DG}$=$\frac{BM}{BD}$=2，
而$\frac{CG}{AG}$=2，
∴$\frac{KG}{DG}$=$\frac{CG}{AG}$，
∴△CKG∽△ADG，
∴∠DAG=∠KCG，$\frac{KC}{AD}=\frac{KG}{DG}$=2，
∴KC∥AB，KC=2AD=AB，
∴四边形ABCK为平行四边形．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定，以及相似三角形的判定与性质，关键是正确证明△CKG∽△ADG．