Question

【题目】已知：在中，是直径，为上一点，，垂足为，连接．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，为延长线上一点，且，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，交于，若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）连接AC，首先通过圆周角定理的推论和等量代换得出 ，再通过等腰三角形的性质和等量代换得出，从而有，最后利用圆周角定理得出结论即可；

（2）延长BD交于点G，连接AG,CG,AC，首先通过平行线的判定及性质得出，进而证明，得出，再证明，得出，则结论可证；

（3）设，则，首先在中利用勾股定理求出x的值，进而得到OD,CD的值，再利用勾股定理求出BC的值，然后证明，得出，则CF可求．

（1）证明：如图，连接AC，

∵AB是直径，

．

，

，

，

．

，

，

，

，

；

（2）证明：延长BD交于点G，连接AG,CG,AC，

∵AB是直径，

．

，

，

，

，

．

，

．

在和中，

，

．

，

．

， ，

．

在和中，

，

．

，

；

（3）如图：

设，则，

，

．

，

，

，

解得或（舍去），

．

，

．

，

，

．

，

，

，

即，

．