Question

已知，如图，在 Rt^△ABC 中，^∠ACB=90°，AC=BC，点 E、F 分别是斜边 AB 上的两点，且^∠FCE=45°．

（1）现将 CF 绕点 C 顺时针旋转 90°到 CD，连结 AD．求证：AD=BF． 若 EF=10，BF=8．求 AE 的长及^△ABC 的面积．

Answer 1

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

【分析】（1）证明^△BCF^≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等即可证得； 首先证明^△ECF^≌△ECD，则 ED=EF，然后在直角^△ADE 中利用勾股定理求得 AE 的长，则 AB 的 长即可求得，然后利用三角函数求得 AC 和 BC 的长，利用三角形的面积公式求解．

【解答】（1）证明：在^△BCF 和^△ACD 中，

，

^∴△BCF^≌△ACD，

^∴AD=BF，^∠CAD=^∠CBA=45°．

解：^∵在^△ECF 和^△ECD 中，

，

^∴△ECF^≌△ECD，

^∴ED=EF，

则在 Rt^△DAE 中，由勾股定理可得：AE=                       =6，