Question

8．已知k为任意实数，随着k的变化，抛物线y=x²-2（k-1）x+k²-3的顶点随之运动，则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 利用配方法求出顶点坐标，推出顶点在直线y=2x-2上运动，由此即可解决问题．

解答 解：∵y=x²-2（k-1）x+k²-3
=（x-k+1）²+k²-3-（k-1）²
=（x-k+1）²+2k-4，
∴顶点的坐标为（k-1，2k-4）即[（k-1），2（k-1）-2]，
∴顶点在直线y=2x-2上运动，
易知直线y=2x-2交x轴于A（1，0），交y轴于B（0，-2），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
∴顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是1，
故选A．

点评 本题考查轨迹、二次函数的性质、配方法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．