Question

【题目】如图，△ABC中，∠ABC＝90°

（1）在BC边上找一点P，作⊙P与AC，AB边都相切，与AC的切点为Q；（尺规作图，保留作图痕迹）

（2）若AB＝4，AC＝6，求第（1）题中所作圆的半径；

（3）连接BQ，第（2）题中的条件不变，求cos∠CBQ的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）r＝；（3）

【解析】

（1）作∠BAC的平分线交BC于点P，作PQ⊥AC于Q，以P为圆心，PQ为半径作⊙P即可．
（2）利用面积法求解即可．
（3）证明∠CBQ=∠BAP，可得cos∠CBQ=cos∠BAP=，由此计算即可．

解：（1）如图，⊙P即为所求．

（2）在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝6，

∴BC＝＝2，

∵PA平分∠BAC，PB⊥BA，PQ⊥AC，

∴PB＝PQ，设PB＝PQ＝r，

∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，

∴×4×2＝×4×r+×6×r，

∴r＝．

（3）∵∠ABP＝∠AQP＝90°，AP＝AP，PB＝PQ，

∴Rt△APB≌Rt△APQ（HL），

∴AB＝AQ，∵PB＝PQ，

∴PA垂直平分线段BQ，

∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠BAP+∠APB＝90°，

∴∠CBQ＝∠BAP，

∴cos∠CBQ＝cos∠BAP＝＝＝．