Question

已知在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的角平分线交AC于点E，且AE=AB，求证：AE²=AD•AC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据角平分线的性质和外角等于不相邻两内角和即可求得∠ABD=∠C，可证明△ABD∽△ABC，即可解题．

解答：证明：∵BE平分∠CBD，
∴∠DBE=∠CBE，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠AEB=∠C+∠CBE，
∴∠ABD=∠C，
∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ABC，
∴AB：AD=AC：AB，即：AB•AB=AD•AC，
∵AE=AB，
∴AE•AE=AD•AC．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．