Question

20．观察下列各式：
①f（1）=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$；②f（2）=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$；③f（3）=$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{2}$；④f（4）=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{2}$…
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律求f（n）；
（2）计算：（2$\sqrt{2015}$+2）[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）]．

Answer 1

分析 （1）根据题目所给的式子，可得f（n）=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2}$；
（2）根据式子规律，将各个数代入，进行化简求解．

解答 解：（1）f（n）=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2}$；

（2）原式=2（$\sqrt{2015}$+1）[$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{2}$+…+$\frac{\sqrt{2015}-\sqrt{2014}}{2}$]
=（$\sqrt{2015}$+1）[$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$]
=（$\sqrt{2015}+1$）（$\sqrt{2015}$-1）
=2015-1
=2014．

点评 本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是根据题目找出规律，写出f（n）的代数式．