Question

10．如图，双曲线y₁=$\frac{k}{x}$与过原点的直线：y₂=mx交于点A（1，4），B（-1，-4），
（1）当y₁＜y₂时，x的取值范围是-1＜x＜0或x＞1；
（2）点C是双曲线y₁=$\frac{k}{x}$（x＞0）一点（不与A重合），直线AC、BC与x轴分别交于E、D；
①若OA=OC，则△CDE的面积为1
②若CE：CB=1：4，求△CDE的面积．

Answer 1

分析 （1）由图象可以直接得结论；
（2）①因为反比例函数是轴对称图形，由对称性可得C的坐标为（4，1），分别求直线BC和AC的解析式，可得DE的长，利用面积公式可得结果；
②先根据A的坐标表示反比例函数的解析式，设C（a，$\frac{4}{a}$）（a＞0，且a≠1），作辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理根据CE：CB=1：4，列等式可得a的值，从而计算其结果．

解答 解：（1）∵曲线y₁=$\frac{k}{x}$与过原点的直线y₂=mx交于点A（1，4），B（-1，-4），
∴当y₁＜y₂时，x的取值范围是：-1＜x＜0或x＞1；
（2）①∵OA=OC，
由对称性得：C（4，1），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（-1，-4）和C（4，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-4}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=x-3，
当y=0时，x-3=0，
x=3，
∴OD=3，
同理得AC的解析式为：y=-x+5，
当y=0时，-x+5=0，
x=5，
∴OE=5，
∴DE=5-3=2，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$×2×1=1；
故答案为：1；
②如图，过C作CQ⊥x轴于Q，过B作BM⊥y轴，BM与CQ交于M，
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数为：y=$\frac{4}{x}$，
设C（a，$\frac{4}{a}$）（a＞0，且a≠1），
由勾股定理得：BC²=CM²+BM²，
$B{C}^{2}=（a+1）^{2}+（4+\frac{4}{a}）^{2}$，
设AC：y=kx+b，
把A（1，4）和C（a，$\frac{4}{a}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{ak+b=\frac{4}{a}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{a}}\\{b=4+\frac{4}{a}}\end{array}\right.$，
∴AC：y=-$\frac{4x}{a}$+4+$\frac{4}{a}$，
当y=0时，-$\frac{4x}{a}$+4+$\frac{4}{a}$=0，
x=a+1，
∴OE=a+1，
∴EQ=a+1-a=1，
∴EQ²+CQ²=CE²=$（\frac{4}{a}）^{2}$+1，
∵CE：CB=1：4，
∴BC=4CE，
∴BC²=16CE²，
∴（a+1）²+（4+$\frac{4}{a}$）²=16[$\frac{16}{{a}^{2}}$+1]，
（a+1）²+$\frac{16（a+1）^{2}}{{a}^{2}}$=16[$\frac{16}{{a}^{2}}$+1]，
（a+1）²（$\frac{16}{{a}^{2}}$+1）=16[$\frac{16}{{a}^{2}}$+1]，
∴（a+1）²=16，
a+1=±4，
a₁=3，a₂=-5（舍），
∴C（3，$\frac{4}{3}$），
易得BC的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$，
当y=0时，$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$=0，
x=2，
∴OD=2，
∴DE=OE-OD=3+1-2=2，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、勾股定理、利用待定系数法求函数的解析式、函数与坐标轴的交点等知识，同时还运用了数形结合的思想，第二问有难度，注意第一小问的附加条件，只能单独运用．