Question

如图，已知BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A分别作BD，CE的垂线，交BD，CE于点F，G，交直线BC于点M，N．求证：FG∥MN，FG=

1

2

（AB+BC+AC）．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：利用“角边角”证明△ABF和△MBF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=MF，AB=MB，同理可得AG=NG，AC=NC，从而得到FG是△AMN的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明即可．

解答：证明：∵BD是△ABC的外角平分线，
∴∠ABF=∠MBF，
∵BD⊥AF，
∴∠AFB=∠MFB=90°，
在△ABF和△MBF中，

∠ABF=∠MBF BF=BF ∠AFB=∠MFB

，
∴△ABF≌△MBF（ASA），
∴AF=MF，AB=MB，
同理可得AG=NG，AC=NC，
∴FG是△AMN的中位线，
∴FG∥MN，
FG=

1

2

（MB+BC+NC），
即FG=

1

2

（AB+BC+AC）．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，判断出FG是△AMN的中位线是解题的关键，也是本题的难点．