Question

如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是劣弧BO上任一点，∠BMO=120°，求圆心C的坐标．

Answer 1

分析：连接BC、OC，过点C作CN⊥OB于N，CE⊥OA于E，根据已知条件，易证四边形CNOE是矩形，已知点A的坐标，易求OE=2，所以CN=2，已知∠BMO=120°，易求∠NCO=60°，所以NO=2

3

，故点C的坐标可求．

解答：解：连接BC、OC，过点C作CN⊥OB于N，CE⊥OA于E，
∵CN、CE过圆心，CN⊥BO，CE⊥AO，
∴AE=OE，ON=BN，
∴∠CNO=∠NOE=∠OEC=90°，
∴四边形CNOE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴CN=OE，
∵点A的坐标为（0，4），
∴OA=4，
∴OE=CN=2，
∵∠BMO=120°，
∴优弧

BAO

的度数为240°，
∴∠BCO=120°，
∴∠NCO=60°，
∴CE=NO=2

3

，
∴C（-2

3

，2）．

点评：本题结合平面直角坐标系考查了垂径定理，正确添加辅助线是解题的关键，解决与弦有关的问题，往往要作弦的弦心距．