Question

18．如图1，已知二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为-$\frac{8}{3}$，直线l的解析式为y=x．

（1）求二次函数的解析式；
（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；
（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，-$\frac{8}{3}$），设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-$\frac{8}{3}$，把（0，0）代入得到a=$\frac{2}{3}$，即可解决问题；
（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，$\frac{2}{3}$m²-$\frac{8}{3}$m），B（-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{11}{3}$m，0），由E、B关于对称轴对称，可得$\frac{m+（-\frac{2}{3}{m}^{2}+\frac{11}{3}m）}{2}$=2，由此即可解决问题；
（3）分两种情形求解即可①当P₁与N重合时，△P₁B′N′是等腰三角形，此时P₁（0，-3）．②当N′=N′B′时，设P（m，m-3），列出方程解方程即可；

解答 解：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，-$\frac{8}{3}$），设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-$\frac{8}{3}$，
把（0，0）代入得到a=$\frac{2}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{2}{3}$（x-2）²-$\frac{8}{3}$，即y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x．

（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，$\frac{2}{3}$m²-$\frac{8}{3}$m），B（-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{11}{3}$m，0），

∵E′在抛物线上，易知四边形EBE′C是正方形，抛物线的对称轴也是正方形的对称轴，
∴E、B关于对称轴对称，
∴$\frac{m+（-\frac{2}{3}{m}^{2}+\frac{11}{3}m）}{2}$=2，
解得m=1或6（舍弃），
∴B（3，0），C（1，-2），
∴直线l′的解析式为y=x-3．

（3）如图2中，

①当P₁与N重合时，△P₁B′N′是等腰三角形，此时P₁（0，-3）．
②当N′=N′B′时，设P（m，m-3），
则有（m-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+（m-3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$）²=（3$\sqrt{2}$）²，
解得m=$\frac{3\sqrt{2}+3-3\sqrt{3}}{2}$或$\frac{3\sqrt{2}+3+3\sqrt{3}}{2}$，
∴P₂（$\frac{3\sqrt{2}+3-3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}-3-3\sqrt{3}}{2}$），P₃（$\frac{3\sqrt{2}+3+3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}-3+3\sqrt{3}}{2}$）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（0，-3）或（$\frac{3\sqrt{2}+3-3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}-3-3\sqrt{3}}{2}$）或（$\frac{3\sqrt{2}+3+3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}-3+3\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会根据方程，属于中考压轴题．