Question

在平面直角坐标系Oxy中，抛物线y=x²-4x+k（k是常数）与x轴相交于A、B两点（B在A的右边），与y轴相交于C点．
（1）求k的取值范围；
（2）若△OBC是等腰直角三角形，求k的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）由抛物线的图象和x轴有两个交点可知：△＞0，进而可求出k的取值范围；
（2）易求C的坐标为（0，k），若△OBC是等腰直角三角形则|k|²-4|k|+k=0，即可求出k的值．

解答：解：（1）依题意，（-4）²-4k＞0，
解不等式得，k＜4，
所以k的取值范围是k＜4；
（2）依题意，C（0，k），
∴B（|k|，0），
∴|k|²-4|k|+k=0，
∴k＞0时，k²-3k=0，解得k=3；
k＜0时，k²+5k=0，解得k=-5．

点评：本题考查了抛物线和x轴交点的问题，一般求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．