Question

9．如图1，点B是线段AC的中点，以线段BC为边作矩形BCDE，点P是线段AC上一动点，连接DP，过点D作DP的垂线，交射线BE于点F，点P从点A出发，沿AC方向运动，当点P和点C重合时运动停止，设线段AP的长为x，△PBF的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0≤x≤2，2＜x≤m时，函数的解析式不同）．
（1）填空：CD的长度为3；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据图1和图2中面积为0的情况可知：AB=BC=2，则AC=4，由图2中当x=m时，S=3，代入可求得CD的长；
（2）先求当P与A重合时，EF的长，即DG的长，求出此时S的值，即图2中M的坐标，由图2可知MN是一次函数，利用待定系数法可求MN的解析式，也可以利用图1求0≤x≤2时，S与x的函数关系式，当2≤x≤4时，利用相似求DG的长，可以表示S的值．

解答 解：（1）由图1知：P与B重合时，S=0；
由图2知：x=2时，S=0；
∴AB=BC=2，
∴AC=4，
∴m=4，
当P与C重合时，F与E重合，如图3，
∴S=S_△PDF=$\frac{1}{2}$DE•CD=3，
$\frac{1}{2}$×2×CD=3，
CD=3，
故答案为：3；
（2）当x=0时，如图4，P与A重合，
过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，
∵FD⊥PD，
∴∠FDP=90°，
∴∠FDG+∠ADC=90°，
∵∠G=90°，
∴∠FDG+∠DFG=90°，
∴∠ADC=∠DFG，
∵∠G=∠ACD=90°，
∴△ADC∽△DFG，
∴$\frac{AC}{DG}=\frac{CD}{FG}$，
∴$\frac{4}{DG}=\frac{3}{2}$，
∴DG=$\frac{8}{3}$；
由勾股定理得：AD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，DF=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{8}{3}）^{2}}$=$\frac{10}{3}$，
∴当x=0时，S=$\frac{1}{2}$AB•BF=$\frac{1}{2}$×$2×（3+\frac{8}{3}）$=$\frac{17}{3}$，
∴M（0，$\frac{17}{3}$），N（2，0），
当0≤x≤2时，设MN的解析式为：S=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=\frac{17}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{17}{6}}\\{b=\frac{17}{3}}\end{array}\right.$，
∴MN的解析式为：S=-$\frac{17}{6}$x+$\frac{17}{3}$（0≤x≤2），
当2≤x≤4时，如图5，
同理得：△PDC∽△DFG，
∴$\frac{PC}{DG}=\frac{CD}{FG}$，
∴$\frac{4-x}{DG}=\frac{3}{2}$，
∴DG=$\frac{2（4-x）}{3}$，
∴S=S_△FBP=$\frac{1}{2}$PB•BF，
=$\frac{1}{2}$（x-2）[3+$\frac{2（4-x）}{3}$]，
=-$\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{7}{2}x-\frac{17}{3}$；
综上所述，S关于x的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{17}{6}x+\frac{17}{3}（0≤x≤2）}\\{-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{7}{2}x-\frac{17}{3}（2≤x≤4）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，此类题有难度，理解图1和图2的关系是关键，注意弄清已知中图2的3和2表示的含义，分情况讨论，利用三角形面积公式可以解决问题．