题目内容

如图，在凸四边形ABCD中，AB∥CD，点E和F在边AB上，且CE∥AD，DF∥BC，DF与CE相交于点G，若△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，则四边形ABCD的面积等于________．

7+4 $\text{[math]}$
分析：由于AB∥CD，利用平行线分线段成比例定理的推论可证△EFG∽△CDG，再利用相似三角形闽籍比等于相似比的平方，可得S_△EFG：S_△CDG=（ $\text{[math]}$ ）²=（ $\text{[math]}$ ）²，而△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，
于是（ $\text{[math]}$ ）²=（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，于是有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，易求 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -1，同样由于DF∥BC，于是△EFG∽△EBC，那么S_△EFG：S_△EBC=（ $\text{[math]}$ ）²=3-2 $\text{[math]}$ ，从而可求S_△EBC，也就易求
S_{四边形GFBC}，最后可求出S_{四边形ABCD}．
解答：

解：∵AB∥CD，
∴△EFG∽△CDG，
∴S_△EFG：S_△CDG=（ $\text{[math]}$ ）²=（ $\text{[math]}$ ）²，
又∵△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，
∴（ $\text{[math]}$ ）²=（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -1，
∵DF∥BC，
∴△EFG∽△EBC，
∴S_△EFG：S_△EBC=（ $\text{[math]}$ ）²=3-2 $\text{[math]}$ ，
∴S_△EBC=3+2 $\text{[math]}$ ，
∴S_{四边形GFBC}=3+2 $\text{[math]}$ -1=2+2 $\text{[math]}$ ，
同理S_{四边形GDAE}=2+2 $\text{[math]}$ ，
∴S_{四边形ABCD}=1+2+2+2 $\text{[math]}$ +2+2 $\text{[math]}$ =7+4 $\text{[math]}$ ．
故答案为：7+4 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．相似三角形面积比等于相似比的平方．