Question

1．已知：如图1，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点E从点C出发，沿CB方向匀速向点B运动，速度为每秒4cm，同时点P从点A出发，沿AC方向匀速向向点C运动，速度为每秒5cm，过点E平行于BD的直线EF，交CD于F，交AC于Q，当点P运动到线段EF上时，点P、点E都停止运动．设运动时间为t秒，△PEF的面积为y（cm²）
（1）当t=$\frac{4}{3}$时，点P恰好运动到线段EF上；（请直接写出答案）
（2）如图2，过点P作PH⊥BC于H，当t为何值时，△PEH∽△EFC？
（3）求y关于t的函数关系式；
（4）如图3，取PF的中点N，连接EN，交AC于M，请问随着时间t的改变，点M的位置会发生改变吗？如果会改变请说明点M的变化情况；如果不会改变，请求出点M的具体位置．

Answer 1

分析 （1）当点P运动到线段EF上时，则CE=4t，AP=5t，再由EF∥BD得出△CPE∽△CGB，由相似三角形的性质得出PC的长，进而可得出结论；
（2）过点P作PG⊥AB于点G，根据BC⊥AB可知△AGP∽△ABC，故可得出AG，GP的长，再根据△PEH∽△EFC即可得出t的值；
（3）根据S_△PEF=S_梯形PHCF-S_△EFC-S_△PHE即可得出结论；
（4）只要证明PQ、EN是△PEF的中线，得到MQ=$\frac{1}{3}$PQ=$\frac{10}{3}$-$\frac{5}{2}$t，求出CM即可解决问题．

解答 解：（1）如图1，当点P运动到线段EF上时，则CE=4t，AP=5t，
∵矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
∴AC=BD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10cm．
∵EF∥BD，
∴△CPE∽△CGB，
∴$\frac{PC}{CG}$=$\frac{CE}{BC}$，即$\frac{PC}{5}$=$\frac{4t}{8}$，解得PC=2.5t，∵AC=QP+PC=5t+2.5t=10，
∴t=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$；

（2）如图2，过点P作PG⊥AB于点G，
∵BC⊥AB，
∴PG∥BC，
∴△AGP∽△ABC，
∵△PEH∽△EFC，
∴$\frac{PH}{EC}$=$\frac{EH}{FC}$，
∴$\frac{6-3t}{4t}$=$\frac{8-8t}{3t}$
解得t=$\frac{14}{23}$（秒）；

（3）S_△PEF=S_梯形PHCF-S_△EFC-S_△PHE
=$\frac{1}{2}$（PH+FC）•HC-$\frac{1}{2}$PH•HE-$\frac{1}{2}$EC•FC
=3（8-4t）-$\frac{1}{2}$（6-3t）（8-8t）-2t•3t
=24-12t-12t²+36t-24-6t²
=-18t²+24t，即y=-18t²+24t；

（4）不变．
如图3，由题意可知：PA=5t．CE=4t，AO=CO=BO=OD=5，
∵EF∥BD，
∴$\frac{CQ}{CO}$=$\frac{CE}{CB}$，$\frac{EQ}{BO}$=$\frac{QF}{OD}$=$\frac{CQ}{CO}$，
∴$\frac{CQ}{5}$=$\frac{4t}{8}$，EQ=QF
∴CQ=$\frac{5}{2}$t，PQ=10-5t-$\frac{5}{2}$t=10-$\frac{15}{2}$t
∵PQ、EN是△PEF的中线，
∴MQ=$\frac{1}{3}$PQ=$\frac{10}{3}$-$\frac{5}{2}$t．，
∴CM=MQ+CQ=$\frac{10}{3}$，
∴点M是定点．

点评 本题考查的是四边形综合题，涉及到矩形的性质、相似三角形的判定与性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，难度较大．