Question

16．已知x₁，x₂是关于x的方程x²-（2m+1）x+m²=0的两个根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两根满足x₁²+x₂²=7，求m的值．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=（2m+1），x₁x₂=m²，由x₁²+x₂²=7变形得（x₁+x₂）²-2x₁x₂=7，则∴（2m+1）²-2m²=7，解得m₁=-3，m₂=1，再根据判别式的意义确定m=1．

解答 解：（1）由题意有△=（2m+1）²-4m²≥0，
解得m≥-$\frac{1}{4}$，
∴实数m的取值范围是m≥-$\frac{1}{4}$；
（2）根据题意得x₁+x₂=（2m+1），x₁x₂=m²，
∵x₁²+x₂²=7，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=7，
∴（2m+1）²-2m²=7，
整理得m²+2m-3=0，解得m₁=-3，m₂=1，
由（1）知m≥-$\frac{1}{4}$，
∴m=-3舍去，
∴m=1．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．