Question

7．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=4$\sqrt{5}$-2，BD=4$\sqrt{5}$+2，求菱形BC边上的高AH的长．

Answer 1

分析 根据菱形性质得出AC⊥BD，AO=OC=2$\sqrt{5}$-1，BO=OD=2$\sqrt{5}$+1，根据勾股定理求出BC，根据菱形的面积得出S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$×AC×BD=BC×AH，代入求出即可．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，AC=4$\sqrt{5}$-2，BD=4$\sqrt{5}$+2，
∴AC⊥BD，AO=OC=2$\sqrt{5}$-1，BO=OD=2$\sqrt{5}$+1，
在Rt△COB中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{42}$，
∵S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$×AC×BD=BC×AH，
$\frac{1}{2}$×（4$\sqrt{5}$-2）（4$\sqrt{5}$+2）=$\sqrt{42}$×AH，
∴AH=$\frac{19\sqrt{42}}{21}$．

点评 此题考查二次根式的实际运用，菱形的性质和勾股定理的应用，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形ABCD的面积是对角线乘积的一半．