Question

15．如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=$\sqrt{2}$，CD=5，AD=2$\sqrt{7}$，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，由S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD即可得出结论．

解答 解：连接AC，
∵AB=1，BC=$\sqrt{2}$，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}+{BC}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{（\sqrt{2}）}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∵CD=5，AD=2$\sqrt{7}$，（$\sqrt{3}$）²+5²=（2$\sqrt{7}$）²，即AC²+CD²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD
=$\frac{1}{2}$AB•BC+$\frac{1}{2}$AC•CD
=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×5
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}+5\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．