Question

7．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：S梯形ABCD=$\frac{1}{2}$a（a+b），S△EBC=$\frac{1}{2}$b（a-b），S四边形AECD=$\frac{1}{2}$c²，则它们满足的关系式为$\frac{1}{2}$a（a+b）=$\frac{1}{2}$b（a-b）+$\frac{1}{2}$c²，经化简，可得到勾股定理．
【知识运用】（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=24千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为8$\sqrt{26}$千米（直接填空）．
（2）在（1）的背景下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离．
【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{（16-x）^{2}+81}$的最小值（0＜x＜16）．

Answer 1

分析 【小试牛刀】根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．
【知识运用】（1）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，从而得到DE=AD-AE=24-16=8千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离．
（2）连接CD，作CD的垂直平分线角AB于P，P即为所求；设AP=x千米，则BP=（40-x）千米，分别在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通过PC=PD建立方程，解方程即可．
【知识迁移】根据轴对称-最短路线的求法即可求出．

解答 解：【小试牛刀】S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$a（a+b），S_△EBC=$\frac{1}{2}$b（a-b），S_{四边形AECD}=$\frac{1}{2}$c²，
它们满足的关系式为：$\frac{1}{2}$a（a+b）=$\frac{1}{2}$b（a-b）+$\frac{1}{2}$c²，
答案为：$\frac{1}{2}$a（a+b），$\frac{1}{2}$b（a-b），$\frac{1}{2}$c²，$\frac{1}{2}$a（a+b）=$\frac{1}{2}$b（a-b）+$\frac{1}{2}$c²．

【知识运用】（1）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，

∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴BC=AE，CE=AB，
∴DE=AD-AE=24-16=8千米，
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+4{0}^{2}}$=8$\sqrt{26}$（千米），
∴两个村庄相距8$\sqrt{26}$千米．
故答案为：8$\sqrt{26}$．

（2）如图2②所示：

设AP=x千米，则BP=（40-x）千米，
在Rt△ADP中，DP²=AP²+AD²=x²+24²，
在Rt△BPC中，CP²=BP²+BC²=（40-x）²+16²，
∵PC=PD，
∴x²+24²=（40-x）²+16²，
解得x=16，
即AP=16千米．

【知识迁移】：如图3，

先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作EF⊥AD与E，即：DF就是代数式$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{（16-x）^{2}+81}$的最小值．
代数式$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{（16-x）^{2}+81}$的几何意义是线段AB上一点到点D，C的距离之和，
而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线与线段AB的交点就是它取最小值时的点，
从而构造出了以AB为一条直角边，AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值，
∴代数式$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{（16-x）^{2}+81}$的最小值为：$\sqrt{D{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{（AD+BC）^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{（9+3）^{2}+1{6}^{2}}$=20．

点评 此题是四边形是四边形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点．