Question

6．如图：在三角形ABC中，∠C=90°，AD是三角形ABC的角平分线，AB=AC+CD．
（1）求证：AC=BC；
（2）若BD=$4\sqrt{2}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）作DE⊥AB于E，则∠AED=∠BED=90°，由AAS证明△ADE≌△ADC，得出对应边相等ED=CD，AE=AC，由已知条件得出ED=EB，得出∠B=∠EDB=45°，证出△ABC是等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）证出△BDE是等腰直角三角形，得出CD=ED=EB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=4，AC=BC=CD+BD=4+4$\sqrt{2}$，即可得出结论．

解答 （1）证明：作DE⊥AB于E，则∠AED=∠BED=90°，
∵AD是三角形ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAC，
在△ADE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠C=90°}&{\;}\\{∠DAE=∠DAC}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADC（AAS），
∴ED=CD，AE=AC，
∵AB=AC+CD=AE+EB，
∴CD=EB，
∴ED=EB，
∴∠B=∠EDB=45°，
∴∠BAC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC；
（2）解：∵∠B=∠EDB=45°，∠BED=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴CD=ED=EB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=4，
∴AC=BC=CD+BD=4+4$\sqrt{2}$，
∴AB=AC+CD=4+4$\sqrt{2}$+4=8+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；证明三角形全等是解决问题的关键．