Question

8．将矩形ABCD（如图）绕点C顺时针旋转90°，点A、B、D分别落在点A₁、B₁、D₁处，如果AB=3，BC=4，那么∠AA₁D₁的正切值是7．

Answer 1

分析 延长A₁ A、D₁ B交于点M，由矩形的性质得出∠ABC=∠ADC=90°，CD=AB=3，AD=BC=4，∠ABM=90°，由旋转的性质得出∠A₁ D₁ C=∠ADC=90°=∠ABM，CD₁=CD=3，A₁ D₁=AD=4，证出AB∥A₁ D₁，得出△ABM∽△A₁ D₁ M，由相似三角形的对应边成比例得出$\frac{AB}{{A}_{1}{D}_{1}}=\frac{BM}{{D}_{1}M}$，求出BM=21，得出D₁ M=28，再由三角函数的定义即可得出结果．

解答 解：如图所示：延长A₁ A、D₁ B交于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ADC=90°，CD=AB=3，AD=BC=4，
∴∠ABM=90°，
由旋转的性质得：∠A₁ D₁ C=∠ADC=90°=∠ABM，CD₁=CD=3，A₁ D₁=AD=4，
∴AB∥A₁ D₁，
∴△ABM∽△A₁ D₁ M，
∴$\frac{AB}{{A}_{1}{D}_{1}}=\frac{BM}{{D}_{1}M}$，
即$\frac{BM}{BM+7}=\frac{3}{4}$，
解得：BM=21，
∴D₁ M=21+3+4=28，
∴tan∠AA₁D₁=$\frac{{D}_{1}M}{{A}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{28}{4}$=7；
故答案为：7．

点评 本题考查了矩形的性质、旋转的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质和矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．