如图.在边长为4的正方形ABCD中.P是BC边上一动点.将△ABP沿直线AP翻折.点B落在点E处,在CD上取一点M.使得将△CMP沿直线MP翻折后.点C落在直线PE上的点F处.直线PE交CD于点N.连接AM.AN．(1)若P为BC的中点.则sin∠CPM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,(2)求证:∠PAN的度数不变,(3)当P在BC边上运动时.△ADM的面积是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不与B、C两点重合），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上取一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接AM、AN．
（1）若P为BC的中点，则sin∠CPM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（2）求证：∠PAN的度数不变；
（3）当P在BC边上运动时，△ADM的面积是否存在最小值，若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据正方形的性质和勾股定理求出AP，根据正弦的定义得到sin∠BAP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，根据折叠的性质证明∠CPM=∠BAP，得到答案；
（2）证明Rt△AEN≌Rt△ADN，得到∠EAN=∠DAN，计算即可；
（3）设PB=x，根据相似三角形的性质求出DM，根据三角形的面积公式得到二次函数的解析式，根据二次函数的性质计算即可．

解答解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，P为BC的中点，
∴BP=$\frac{1}{2}$PC=2，
∴AP=$\sqrt{A{B}^{2}+B{P}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴sin∠BAP=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
由折叠的性质可知，∠BPA=∠EPA，∠CPM=∠FPM，
∴∠APM=$\frac{1}{2}$（∠BPE+∠CPF）=90°，
∴∠BPA+∠CPM=90°，又∠BPA+∠BAP=90°，
∴∠CPM=∠BAP，
∴sin∠CPM=sin∠BAP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（2）由折叠的性质可知，∠AEP=∠B=90°，AE=AB，∠BAP=∠EAP，
∴AE=AD，
在Rt△AEN和Rt△ADN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEN≌Rt△ADN，
∴∠EAN=∠DAN，
∴∠PAN=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；
（3）设PB=x，则PC=4-x，
∵∠CPM=∠BAP，∠ABP=∠PCM=90°，
∴△ABP∽△PCM，
∴$\frac{AB}{PC}$=$\frac{BP}{CM}$，即$\frac{4}{4-x}$=$\frac{x}{CM}$，
解得，CM=-$\frac{1}{4}$x²+x，
∴DM=4-（-$\frac{1}{4}$x²+x）=$\frac{1}{4}$x²-x+4，
∴△ADM的面积=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{4}$x²-x+4）=$\frac{1}{2}$（x-2）²+6，
∴当BP=2时，△ADM的面积存在最小值6．