Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且OA=3，OB=4，反比例函数y=

k

x

（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点D．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）求将正方形ABCD沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上；
（3）若点E是线段OA上一动点，点F是线段OB上一动点，是否存在直线EF将Rt△ABO的周长和面积同时平分？若存在这样的直线EF，则求出线段EF的长；若不存在这样的直线EF，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）作DH⊥x轴于H，根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，再利用等角的余角相等得到∠OBA=∠DAH，则可根据“AAS”证明△ABO≌△DAH，所以AH=OB=4，DH=OA=3，得到D点坐标为（7，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算出k=21，即可得到反比例函数解析式为y=

21

x

；
（2）作CG⊥y轴于G，CG交反比例函数图象于P点，用同样的方法可证明△ABO≌△BCG，得到BG=OA=3，CG=OB=4，则C点坐标，再利用反比例函数解析式确定P点坐标，则PC=CG-PG，于是将正方形ABCD沿x轴向左平移PC个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上；
（3）设E（m，0），F（0，n），即OE=m，OF=n，在Rt△OAB中，根据勾股定理计算出AB=5，则△ABO的周长=12，△ABO的面积=6，由于直线EF将Rt△ABO的周长和面积同时平分，所以m+n=6，即mn=6，再求出m和n的值，然后根据m、n的取值范围进行判断．

解答：解：（1）作DH⊥x轴于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAH=90°，
而∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠DAH，
在△ABO和△DAH中，

∠AOB=∠DHA ∠OBA=∠HAD AB=DA

，
∴△ABO≌△DAH（AAS），
∴AH=OB=4，DH=OA=3，
∴OH=OA+AH=3+4=7，
∴D点坐标为（7，3），
∴k=7×3=21，
∴反比例函数解析式为y=

21

x

；
（2）作CG⊥y轴于G，CG交反比例函数图象于P点，如图，
与（1）的方法一样可证明△ABO≌△BCG，
∴BG=OA=3，CG=OB=4，
∴OG=7，
∴C点坐标为（4，7），
把y=7代入y=

21

x

得x=3，
∴P点坐标为（3，7），
∴PC=CG-PG=4-3=1，
∴将正方形ABCD沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上；
（3）不存在．
设E（m，0），F（0，n），即OE=m，OF=n，
在Rt△OAB中，OA=3，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=5，
∴△ABC的周长=3+4+5=12，△ABC的面积=

1

2

×3×4=6，
∵直线EF将Rt△ABO的周长和面积同时平分，
∴m+n=6，mn=6，
∴m（6-m）²=6，
整理得m²-6m+6=0，解得m₁=3+

3

，m₂=3-

3

，
当m=3+

3

时，n=3-

3

；当m=3-

3

时，n=3+

3

，
而0≤m≤3，0≤n≤4，
∴不存在直线EF将Rt△ABO的周长和面积同时平分．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质；会运用全等三角形的判定与性质解决线段相等的问题；会利用完全平方公式进行代数式变形．