Question

3．如图，取一张长方形纸片ABCD，沿AD边上任意一点M折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，设折痕为MN，D′C′交BC于点E且∠AMD′=α，∠NEC′=β
（1）探究α、β之间的数量关系，并说明理由．
（2）连接AD′是否存在折叠后△AD′M与△C′EN全等的情况？若存在，请给出证明；若不存在，请直接作否定的回答，不必说明理由．

Answer 1

分析 （1）α+β=90°．如图1，延长MD′交BC于点F．利用平行线的性质得到：∠AM D′=∠MFE=α．然后根据折叠的性质推知：∠MFE+∠D′EF=90°，∠D′EF=∠NEC′，故α+β=90°；
（2）当点D′与点B重合时，△AD′M与△C′EN全等．如图2，此时，B、E、D′三点重合．利用折叠的性质和全等三角形的判定定理HL证得这两个三角形全等；

解答 解：（1）α+β=90°．理由如下：
如图1，延长MD′交BC于点F．
∵AD∥BC，
∴∠AM D′=∠MFE=α．
又∠MD′E=∠D=90°，∠FD′E=90°，
∴∠MFE+∠D′EF=90°，∠D′EF=∠NEC′，
故α+β=90°；

（2）当点D′与点B重合时，△AD′M与△C′EN全等．
如图2，此时，B、E、D′三点重合．
∵由折叠可知，∠1=∠2，
∴∠C′=∠C=∠A=90°，C′E=CD．
∵AD∥BC，∠2=∠3，
得∠1=∠3，
 即D′M=EN．
又AD′=DC，
∴AD′=C′E，
∴在Rt△AD′M与Rt△C′EN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD′=CE′}\\{D′M=EN}\end{array}\right.$，
故Rt△AD′M≌Rt△C′EN（HL）．

点评 本题综合考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．难度比较大，需要学生对所学的知识有一个系统的掌握；另外，对于等腰三角形的顶点不确定的问题，需要分类讨论，以防漏解．