如图.在直角坐标系中.矩形OABC的顶点A.C均在坐标轴上.且OA=4.OC=3.动点M从点A出发.以每秒1个单位长度的速度.沿AO向终点O移动,动点N从点C出发沿CB向终点B以同样的速度移动.当两个动点运动了x秒时.过点N作NP⊥BC于点P.连接MP．(1)直接写出点B的坐标.并求出点P的坐标,(2)设△OMP的面积为S.求S与x之间的函数表达式,当x为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C均在坐标轴上，且OA=4，OC=3，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；动点N从点C出发沿CB向终点B以同样的速度移动，当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，过点N作NP⊥BC于点P，连接MP．
（1）直接写出点B的坐标，并求出点P的坐标（用含x的式子表示）；
（2）设△OMP的面积为S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据矩形OABC中OA=4，OC=3以及矩形的性质，得出B点坐标，再由PG∥AB，得出△OPG∽△OBA，利用相似三角形对应边成比例得出P点坐标；
（2）利用PG以及OM的长表示出△OMP的面积，再根据二次函数的性质求出最大值即可；
（3）△OMP是等腰三角形时，分三种情况：①PO=PM；②OP=OM；③OM=PM．画出图形，分别求出即可．

解答解：（1）∵矩形OABC中，OA=4，OC=3，
∴B点坐标为（4，3）．
如图，延长NP，交OA于点G，则PG∥AB，OG=CN=x．
∵PG∥AB，
∴△OPG∽△OBA，
∴$\frac{PG}{AB}$=$\frac{OG}{OA}$，即$\frac{PG}{3}$=$\frac{x}{4}$，解得PG=$\frac{3}{4}$x，
∴点P的坐标为（x，$\frac{3}{4}$x）；

（2）∵在△OMP中，OM=4-x，OM边上的高为$\frac{3}{4}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$（4-x）•$\frac{3}{4}$x=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{2}$x，
∴S与x之间的函数表达式为S=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{2}$x（0＜x＜4）．
配方，得S=-$\frac{3}{8}$（x-2）²+$\frac{3}{2}$，
∴当x=2时，S有最大值，最大值为$\frac{3}{2}$；

（3）存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形．理由如下：
①如备用图1，若PO=PM，则OG=GM=CN=x，
即3x=4，解得：x=$\frac{4}{3}$，
所以M（$\frac{8}{3}$，0）；
②如备用图2，若OP=OM，则$\frac{OG}{cos∠AOB}$=OM，
即$\frac{5}{4}$x=4-x，解得：x=$\frac{16}{9}$，
所以M（$\frac{20}{9}$，0）；
③如备用图3，若OM=PM时，
∵PG=$\frac{3}{4}$x，GM=OM-OG=（4-x）-x=4-2x，
∴PM²=PG²+GM²=（$\frac{3}{4}$x）²+（4-2x）²，
∵OM=4-x，
∴（4-x）²=（$\frac{3}{4}$x）²+（4-2x）²，解得：x=$\frac{128}{57}$，
所以，M（$\frac{384}{57}$，0）．
综上所述，M的坐标为（$\frac{8}{3}$，0）或（$\frac{20}{9}$，0）或（$\frac{384}{57}$，0）．