Question

9．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=10cm，等腰直角三角形DEF的顶点D为AB的中点．
（1）如图（1）所示，DE⊥AC于M，BC⊥DF于N，则DM与DN在数量上有什么关系？两个三角形重叠部分的面积是多少？
（2）在（1）的基础上，将三角形DEF绕着点D旋转一定的角度，且AC与DE相交于M，BC与DF相交于N，如图（2），则DM与DN在数量上有什么关系？两个三角形重叠部分的面积是多少？

Answer 1

分析 （1）连接DC，由等腰直角三角形ABC及D为AB中点，利用三线合一得到CD垂直于AB，及两对角相等，利用AAS得到三角形ADM与三角形CDN全等，利用全等三角形对应边相等得到DM=DN，重叠部分面积等于三角形DNC与三角形DMC面积之和，等量代换等于三角形ADC面积，即为三角形ABC面积一半，求出即可；
（2）连接DC，由等腰直角三角形ABC及D为AB中点，利用三线合一得到CD⊥AB，∠A=∠DCB=45°，AD=CD，利用同角的余角相等得到∠ADM=∠CDN，利用ASA得到三星级AMD与三角形CDN全等，利用全等三角形对应边相等得到DM=DN，同（1）求出重叠部分面积即可．

解答 解：（1）连接DC，
∵AC=BC，D为AB的中点，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠A=∠B=45°，
∴∠A=∠DCN，AD=DC，
∵DM⊥AC，DN⊥BC，
∴∠DMA=∠DNC，
∴△ADM≌△CDN（AAS），
∴DM=DN，
则S_重叠=S_△DNC+S_△DMC=S_△DMA+S_△DMC=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×10×10=25（cm²）；
（2）连接CD，则CD⊥AB，∠A=∠DCB=45°，AD=CD，
∵∠ADM+∠MDC=∠MDC+∠CDF=90°，
∴∠ADM=∠CDN，
∴△AMD≌△CND（ASA），
∴DM=DN，
同（1）可得S_重叠=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×10×10=25（cm²）．

点评 此题属于三角形综合题，涉及的知识有：等腰直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．