Question

8．如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，且AB=4，CD=2，∠A=60°，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 延长DC交AB的延长线与点E，根据∠A=60°，∠B=∠D=90°可知∠E=30°，再由锐角三角函数的定义求出CE及BE的长，由勾股定理求出BC的长，进而可得出结论．

解答 解：延长DC交AB的延长线与点E，
∵∠A=60°，∠B=∠D=90°，
∴∠E=30°．
在Rt△BCE中，$\frac{BE}{CE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$①，
在Rt△ADE中，$\frac{DE}{AE}$=$\frac{2+CE}{4+BE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$②，
①②联立得，CE=16，BE=8$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{1}{2}$CE=8，DE=CD+CE=18，
∴AE=AB+BE=4+8$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE=2+4$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ADE-S_△BCE=$\frac{1}{2}$AD•DE-$\frac{1}{2}$BE•BC=$\frac{1}{2}$×（2+4$\sqrt{3}$）×18-$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{3}$×8=18+36$\sqrt{3}$-32$\sqrt{3}$=18+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．