Question

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF、BE交于点G，连接CE、DF交于点H．
（1）求证：BE=CE；
（2）求证：四边形EGFH是菱形．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）根据正方形的性质，可得AB、DC的关系，∠BAE与∠CDE的关系，根据线段的中点，可得AE与DE的关系，根据SAS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得证明结论；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形，可证明四边形AECF、BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得GF与EH、EG与FH的关系，根据平行四边形的判定，可得EGFH的形状，根据三角形全等，可得EG与FG的关系，根据菱形的定义，可得证明结论．

解答：证明：如图            
（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°．
∵E是AD的中点，∴AE=DE．
在△ABE和△DCE中

AB=DC ∠BAE=∠CDE AE=DE

，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴BE=CE；
（2）∵AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=DE=BF=CF
又∵AD∥BC，
∴四边形AECF、BEDF是平行四边形．
∴GF∥EH、EG∥FH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
在△AEG和△FBG中

∠AEG=∠FBG ∠EAG=∠BFG AE=BF

∴△AEG≌△FBG（AAS）
∴EG=GF．
∴四边形EGFH是菱形．

点评：本题考查了正方形的性质，（1）先证明三角形全等，再证明对应边相等；（2）先证明四边形EGFH是平行四边形，再证明一组邻边相等的平行四边形是菱形．