Question

已知二次函数y=kx²-（2k+1）x+（k+1）（k≠0为实数）．
（1）求证：不论k为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）该函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
①当△ABC的面积等于2时，求k的值；
②对任意负实数a＜0，当x＞m时，y随着x的增大而减小，试求出m的一个值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的性质

专题：

分析：（1）利用根的判别式的性质直接判断△的符号得出答案即可；
（2）①令y=0，求出x的值，再利用三角形面积公式求出k的值即可；
②利用二次函数的顶点增减性，进而对称轴位置以及k的符号得出答案．

解答：（1）证明：∵△=（2k+1）²-4k（k+1）=1＞0，
∴不论k为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
                       
（2）解：①令y=0，kx²-（2k+1）x+（k+1）=0
解得：x₁=1，x₂=1+

1

k

，
S_△ABC=0.5×|

1

k

|×|（k+1）|=2，
解得：k=1或k=-

1

3

；
                                                  
②∵函数y=kx²-（2k+1）x+（k+1）的图象在对称轴（直线x=

2k+1

2k

）的右侧，y随x的增大而减少，
根据题意，当k＜0时，x=

2k+1

2k

=1+

1

2k

＜1，
所以m≥1都有y随x的增加而减小．

点评：本题考查了二次函数与x轴、y轴的交点问题的应用，培养学生的理解能力和计算能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．