Question

16．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（-1，0），与y轴交于点B（0，-2），点C是x轴上一点，且满足CA=CB
（1）求直线l的解析式；
（2）求点C的坐标和△ABC的面积；
（3）过点C作y轴的平行线CH，借助△ABC的一边构造与△ABC面积相等的三角形，第三个顶点P在直线CH上，求出符合条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设直线l的解析式为y=kx+b，把A、B两点坐标代入，解方程组即可．
（2）线段AB的垂直平分线与x轴的交点即为点C，求出线段AB的中垂线的解析式即可解决问题．
（3）分两种情形讨论即可①过点A作AP₁∥BC交直线CH于P₁，此时△P₁BC与△ABC面积相等．②过点B作BP₂∥AC交直线CH于P₂，此时△P₂AC与△ABC的面积相等．分别求解即可．

解答 解：（1）设直线l的解析式为y=kx+b，把A、B两点坐标代入得到$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=-2x-2．

（2）∵CA=CB，
∴点C在线段AB的垂直平分线上，
设线段AB的中垂线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b′，
∵线段AB的中点为（-$\frac{1}{2}$，-1），
∴-1=-$\frac{1}{4}$+b′，
∴b′=-$\frac{3}{4}$，
∴线段AB的中垂线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{4}$，
令y=0得到x=$\frac{3}{2}$，
∴点C坐标为（$\frac{3}{2}$，0），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{3}{2}$）×2=$\frac{5}{2}$．

（3）如图，

①过点A作AP₁∥BC交直线CH于P₁，此时△P₁BC与△ABC面积相等，
∵B（0，-2），C（$\frac{3}{2}$，0），
∴直线BC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-2，
∴直线AP₁的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
∴x=$\frac{3}{2}$时，y=$\frac{10}{3}$
∴P₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{10}{3}$）．
②过点B作BP₂∥AC交直线CH于P₂，此时△P₂AC与△ABC的面积相等．
可得点P₂（$\frac{3}{2}$，-2），
③根据对称性可得P₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{10}{3}$）或P₄（$\frac{3}{2}$，2）也符合题意．
综上所述，满足条件的点P坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{10}{3}$）或（$\frac{3}{2}$，-2）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{10}{3}$）或（$\frac{3}{2}$，2）．

点评 本题考查一次函数综合题、待定系数法、线段的垂直平分线的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．