Question

如图，在△ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是

 

．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：计算题

分析：根据黄金分割的定义得到AD²=BD•AB，而AD=AC=BC，则BC²=BD•AB，根据相似三角形的判定得△BCD∽△BAC，则∠A=∠BCD，设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，根据三角形外角性质得∠ADC=∠BCD+∠B=2x，所以∠ACD=∠ADC=2x，然后根据三角形内角和定理得到x+2x+x+x=180°，再解方程即可．

解答：解：∵点D是线段AB的一个黄金分割点，
∴AD²=BD•AB，
∵AD=AC=BC，
∴BC²=BD•AB，
即BC：BD=AB：BC，
而∠ABC=∠CBD，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠A=∠BCD，
设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=2x，
而AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=2x，
∴x+2x+x+x=180°，解得x=36°．
故答案为36°．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．