Question

4．已知，点D是△ABC内一点，满足AD=AC
（1）已知∠CAD=2∠BAD，∠ABD=30°，如图1，若∠BAC=60°，∠ACB=80°，请判断BD和CD的数量关系（直接写出答案）
（2）如图2，若∠ACB=2∠ABC，BD=CD，试证明∠CAD=2∠BAD．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理求得∠ABC=40°，进一步求得∠BAD=20°，∠ADC=∠ACD=70°，从而求得∠DBC=∠ABC-∠ABD=40°-30°=10°，∠DCB=∠ACB-∠ACD=80°-70°=10°，得出∠DBC=∠DCB，证得DB=DC；
（2）作∠EBC=∠ACB，使EB=AC，连接ED、EA，则四边形AEBC是等腰梯形，通过证得△EBD≌△ACD得出ED=AD，进一步证得三角形AED是等边三角形，可得∠EAD=60°，然后根据∠BAD=60°-∠EAB=60°-∠ABC，利用等量代换即可证得结论．

解答 解：（1）BD和CD的数量关系是BD=CD；
理由：∵在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=80°，
∴∠ABC=40°，
∵∠CAD=2∠BAD，
∴∠CAD=40°，∠BAD=20°，
又∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=70°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=40°-30°=10°，∠DCB=∠ACB-∠ACD=80°-70°=10°，
∴∠DBC=∠DCB，
∴DB=DC；
（2）作∠EBC=∠ACB，使EB=AC，连接ED、EA，则四边形AEBC是等腰梯形，
∴AE∥BC，
∴∠EAB=∠ABC，
∵BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠EBD=∠ACD，
在△EBD和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=AC}\\{∠EBD=∠ACD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$
∴△EBD≌△ACD（SAS），
∴ED=AD，
∵∠ACB=2∠ABC，∠EBC=∠ACB，
∴∠EBC=2∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC，
∴∠EAB=∠ABE，
∴BE=AE，
∵AD=AC=EB，
∴EA=ED=AD，
∴△AED是等边三角形，
∴∠EAD=60°，
∴∠BAD=60°-∠EAB=60°-∠ABC，
∴2∠BAD=120°-2∠ABC=120°-∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠ACB+∠EAC=180°，
∴∠ACB=180°-∠EAC，
∵∠EAC=60°+∠DAC，
∴2∠BAD=120°-（180°-60°-∠DAC）=∠DAC，
∴∠DAC=2∠BAD．

点评 题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，作辅助线构建等腰梯形，通过证明三角形全等得出线段相等，是解答本题的基本思路．