Question

10．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，AC是⊙O的切线交BD的延长线于点C，连接DE．
（1）求证：AD=DC；
（2）若sin∠BCA=$\frac{4}{5}$，AC=6，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得∠EAD+∠DAC=90°，再利用圆周角定理得到∠ADE=90°，∠E=∠ABC，所以∠ABC=∠DAC，接着根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，所以∠DAC=∠C，于是得到AD=DC；
（3）作DH⊥AC于H，如图，根据等腰三角形的性质得AH=CH=$\frac{1}{2}$AC=3，再利用正弦的定义得到sinC=$\frac{DH}{CD}$=$\frac{4}{5}$，设DH=4x，CD=5x，则CH=3x，所以3x=3，解得x=1，则CD=AD=5，然后在在Rt△AED中利用正弦的定义可计算出AE的长．

解答 （1）证明：∵AC为切线，
∴AE⊥AC，
∴∠EAC=90°，即∠EAD+∠DAC=90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠E=∠DAC，
∵∠E=∠ABC，
∴∠ABC=∠DAC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DAC=∠C，
∴AD=DC；
（3）解：作DH⊥AC于H，如图，则AH=CH=$\frac{1}{2}$AC=3，
在Rt△CDH中，sinC=$\frac{DH}{CD}$=$\frac{4}{5}$，
设DH=4x，CD=5x，
∴CH=3x，
∴3x=3，解得x=1，
∴CD=5，
∴AD=5，
在Rt△AED中，sinE=sinC=$\frac{4}{5}$=$\frac{AD}{AE}$，
∴AE=$\frac{25}{4}$，
即⊙O的直径为$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定与性质和解直角三角形．