Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=BC=AC，M是

BC

上任意一点，连接MA，MB，MC，求证：MA=MB+MC．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：如图，作辅助线，首先证明△BMN是等边三角形，进而证明△ABN≌△CBM，问题即可解决．

解答：解：如图，在MA上截取MN，使得MN=MB，连接BN；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°；
∵∠BAC+∠BMC=180°，
∴∠BMC=180°-60°=120°；
∵MB=MN，∠BMN=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=BN，∠MNB=60°，
∴∠ANB=180°-60°=120°；
在△ABN与△CBM中，

∠ANB=∠BMC ∠BAN=∠BCM BN=BM

，
∴△ABN≌△CBM（AAS），
∴AN=CM，
∴MN+AN=BM+CM，
即MA=MB+MC．

点评：该命题以圆为载体，以考查圆周角定理及其推论、全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．