Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=a．
（1）当点P在线段BC上时（点P与点B，C都不重合），试用含a的代数式表示CE；
（2）当a=3时，连结DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；
（3）当tan∠PAE=

1

2

时，求a的值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：几何综合题,数形结合

分析：（1）PC在BC上运动时，只需要用勾股定理表示PE²=PC²+EC²就可以使问题到解决，而关键是解决PE²，又在Rt△APE中由勾股定理求得，从而解决问题．
（2）把a=3的值代入第一问的解析式就可以求出CE的值，再利用三角形相似就可以求出CF的值．
（3）由条件可以证明△ABP∽△PCE，可以得到

BP

CE

=

AB

PC

=2，再分情况讨论，从而求出a的值．

解答：解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠BCD=∠D=90°，
∵BP=a，
∴PC=5-a，DE=4-CE，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△ABP∽△PCE，
∴

CE

BP

=

PC

AB

，
∴

CE

a

=

5-a

4

，
∴EC=

-a2+5a

4

，
自变量的取值范围为：0＜a＜5；

（2）当a=3时，EC=

-32+5×3

4

=

3

2

，
∴DE=

5

2

，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD平行于BF．
∴△AED∽△FEC，
∴

AD

CF

=

DE

CE

，
∴

5

CF

=

5 2

3 2

，
∴CF=3，
∴PF=AD=5，
∴四边形APFD是平行四边形；

（3）如图2，根据tan∠PAE=

1

2

，可得：

AP

PE

=2，
∵∠APB+∠BPE=90°，∠CEP+∠EPC=90°，
∴∠CEP=∠APB，
又∵∠ABP=∠PCE，
∴△ABP∽△PCE
∴

BP

CE

=

AB

PC

=2
于是：

a

EC

=

4

5-a

=2 ①或

a

EC

=

4

a-5

=2 ②
解得：a=3，EC=1.5或 a=7，EC=3.5．
∴a=3或7．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形以及勾股定理的运用，利用数形结合得出是解题关键．