Question

已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别是△ADC的高和角平分线（∠C＞∠DAC），若∠B=80°，∠C=40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何关系？并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-80°-40°=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠BAC=30°；

（2）∠EDF=（∠C-∠DAC）．理由如下：
在△DAC中，∵∠ADC+∠DAC+∠C=180°，
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=∠ADC=（180°-∠DAC-∠C），
∵DE是△ADC的高，
∴∠CDE=90°-∠C，
∴∠EDF=∠CDF-∠CDE=（180°-∠DAC-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠DAC）．
故∠EDF=（∠C-∠DAC）．
分析：（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据三角形的角平分线的定义即可求出∠DAE的度数；
（2）先根据三角形内角和定理及角平分线的定义求出∠CDF=（180°-∠DAC-∠C），再由直角三角形两锐角互余得出∠CDE=90°-∠C，则根据∠EDF=∠CDF-∠CDE即可得出∠EDF=（∠C-∠DAC）．
点评：本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，难度一般，用含∠DAC与∠C的代数式分别表示∠CDF与∠CDE，是解题的关键．