Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点A、B、D、E在圆O上，弧AE＝弧DE，连接BE交AE于F，∠BFC＝45°，EF＝2，BF＝4．

（1）求AE的长；

（2）求证：BC是圆O的切线；

（3）求tan∠ABC．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）根据相似三角形的性质和判定即可得到答案；

（2）根据平行线的性质和圆切线的判定即可得到答案；

（3）根据三角函数和勾股定理即可得到答案.

解：（1）∵弧AE＝弧DE

∴∠DAE＝∠EBA，且∠AEF＝∠AEB

∴△AEF∽△BEA

∴

∴AE2＝BEEF，且EF＝2，BF＝4．

∴AE2＝2×6＝12

∴

（2）连接OE交AD于点H，连接OB，

∵△AEF∽△BEA

∴∠BAE＝∠AFE＝∠BFC＝45°

∴∠BOE＝90°，

∵，OE是半径

∴OE⊥AD，且∠C＝90°，

∴OE∥BC，且∠BOE＝90°

∴∠OBC＝90°，

即OB⊥BC，

∴BC是圆O的切线

（3）∵BF＝4，∠C＝90°，∠BFC＝45°

∴CF＝CB＝2

∵∠EHF＝90°，EF＝2，∠EFH＝45°

∴EH＝HF＝

∴AH＝＝

∴AC＝AH+HF+CF＝

∴tan∠ABC＝＝＝