Question

2．在直角坐标系中，如果以坐标原点O为圆心的圆与直线y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$相切于点C，求：
（1）⊙O的半径．
（2）切点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图，利用一次函数图象上点的坐标特征求出A点和B点坐标，再利用锐角三角函数求出∠BAO的度数，接着关键切线的性质得到OC⊥AB，然后在Rt△OCA中利用正弦定义可求出OC的长；
（2）作CD⊥OA于D，如图，在Rt△OCD中利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD和OD的长，从而可得到C点坐标．

解答 解：（1）如图，直线y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$交x轴于A点，交y轴于B点，连结OC，
当y=0时，-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$=0，解得x=2，则A（2，0）；
当x=0时，y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，则B（0，2$\sqrt{3}$），
在Rt△OAB中，∵OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BAO=60°，
∵AB为切线，
∴OC⊥AB，
在Rt△OCA中，∵sin∠CAO=$\frac{OC}{OA}$，
∴OC=2sin60°=$\sqrt{3}$，
即⊙O的半径为$\sqrt{3}$；
（2）作CD⊥OA于D，如图，
在Rt△OCD中，∵∠COD=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$OC=1，OD=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$，
∴C点坐标为（$\sqrt{3}$，1）．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决（1）小题的关键是确定∠OAB的度数，解决（2）小题的关键是求C点到x轴和y轴的距离．