Question

【题目】如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线与直线交于、两点，点在轴上且位于点的左侧，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；

（3）是直线上一动点，为抛物线上一动点，若为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的坐标为或；（3）点的坐标为或．

【解析】

(1)根据对称轴的特点，找到B的坐标，把A、B、C三点坐标代入解析式，便可求解．

(2)直线和抛物线的函数关系式成方程组，求出E的坐标，计算出AE的长度，以、、为顶点的三角形与相似，故分情况讨论或从而找到P的坐标．

(3)存在两种情况：

①取点与点重合，过点作轴，交直线于点,

由，，找到M的坐标．

②取点，连接，延长交抛物线于点，过点作轴，交直线于点，根据对称和平行关系找到直线的函数关系式

联立直线和抛物线的函数关系式成方程组，求出点的坐标．

（1）抛物线的对称轴是直线，且过点，

∴点的坐标为.

将、、代入，得：

，解得：，

∴抛物线的函数表达式为.

（2）联立直线和抛物线的函数关系式成方程组，得：，

解得：，，∴点的坐标为，

∴.

∵点的坐标为，点的坐标为，∴，.

∵直线的函数表达式为，∴.

设点的坐标为，则.

∵以、、为顶点的三角形与相似，∴或，

∴或，解得：或,

∴点的坐标为或.

（3）点的坐标为或.

∵，∴存在两种情况（如图2）.

①取点与点重合，过点作轴，交直线于点,

∵，，∴此时为等腰直角三角形，

∴点的坐标为；

②取点，连接，延长交抛物线于点，过点作轴，交直线于点，

∵点、关于轴对称，，∴，，

∴为等腰直角三角形，

∵轴，∴为等腰直角三角形.

∵点，点，∴直线的函数关系式为，

联立直线和抛物线的函数关系式成方程组，得：，

解得：，，∴点的坐标为.

综上所述：点的坐标为或.