Question

【题目】如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是_____．

Answer 1

【答案】3

【解析】

以点M为原点建立平面直角坐标系，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F，然后A、B的坐标可以表示出来，再根据全等三角形的判定和性质求得点C的坐标，从而可求出AC的最大值.

解：如图所示：以点M为原点建立平面直角坐标系，

过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．

∵AB＝4，O为AB的中点，

∴A（﹣2，0），B（2，0）．

设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．

∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，

∴∠ECP＝∠FPB，

由旋转的性质可知：PC＝PB，

在△ECP和△FPB中，

，

∴△ECP≌△FPB,

∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x．

∴C（x+y，y+2﹣x）．

∵AB＝4，O为AB的中点，

∴AC＝ ＝ ，

∵x2+y2＝1，

∴AC＝ ，

∵﹣1≤y≤1，

∴当y＝1时，AC有最大值，AC的最大值为．

故答案为．