题目内容
我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题，并说明理由；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆弧ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．试说明△ACE是奇异三角形．
【答案】分析：（1）设等边三角形ABC饿边长是a，则a2+a2=2a2，根据“奇异三角形”的定义推出即可；
（2）根据勾股定理得出a2+b2=c2①，根据奇异三角形得出a2+c2=2b2②，由①②求出b=
a，c=
a，代入即可求出答案；
（3）根据勾股定理得出AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，求出AD=BD，求出AC2+CB2=2AD2，把CB=CE，AE=AD代入求出AC2+CE2=2AE2即可．
解答：解：（1）命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题，
理由是：∵设等边三角形的一边为a，
则a2+a2=2a2，
∴符合“奇异三角形”的定义得出：命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题；
（2）∵∠C=90°，
∴a2+b2=c2①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a2+c2=2b2②，
由①②得：b=
a，c=
a，
∴a：b：c=1：
：
；
（3）∵①AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，
在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，
∵点D是半圆弧ADB的中点，
∴弧AD=弧DB，
∴AD=BD，
∴AB2=AD2+BD2=2AD2，
∴AC2+CB2=2AD2，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC2+CE2=2AE2，
∴△ACE是奇异三角形．
点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，命题与定理等知识点的综合运用．
（2）根据勾股定理得出a2+b2=c2①，根据奇异三角形得出a2+c2=2b2②，由①②求出b=
a，c=a，代入即可求出答案；（3）根据勾股定理得出AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，求出AD=BD，求出AC2+CB2=2AD2，把CB=CE，AE=AD代入求出AC2+CE2=2AE2即可．
解答：解：（1）命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题，
理由是：∵设等边三角形的一边为a，
则a2+a2=2a2，
∴符合“奇异三角形”的定义得出：命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题；
（2）∵∠C=90°，
∴a2+b2=c2①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a2+c2=2b2②，
由①②得：b=
a，c=a，∴a：b：c=1：
：；（3）∵①AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，
在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，
∵点D是半圆弧ADB的中点，
∴弧AD=弧DB，
∴AD=BD，
∴AB2=AD2+BD2=2AD2，
∴AC2+CB2=2AD2，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC2+CE2=2AE2，
∴△ACE是奇异三角形．
点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，命题与定理等知识点的综合运用．
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若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．
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