题目内容

我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）根据“奇异三角形”的定义，小华提出命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c．
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

解：（1）设等边三角形的一边为a，则a²+a²=2a²，
∴符合奇异三角形”的定义．
∴正确；

（2）∵∠C=90°，
则a²+b²=c²①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a²+c²=2b²②，
由①②得：b= $\text{[math]}$ a，c= $\text{[math]}$ a，
∴a：b：c=1： $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ；

（3）①∵以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，
利用直角三角形外接圆直径就是斜边，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AC²+BC²=AB²，
在Rt△ADB中，AD²+BD²=AB²，
∵点D是半圆 $\text{[math]}$ 的中点，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AD=BD，
∴AB²=AD²+BD²=2AD²，

∴AC²+CB²=2AD²，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC²+CE²=2AE²，
∴△ACE是奇异三角形；
②由①可得△ACE是奇异三角形，
∴AC²+CE²=2AE²，

当△ACE是直角三角形时，
由（2）得：AC：AE：CE=1： $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 或AC：AE：CE= $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ：1，
当AC：AE：CE=1： $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 时，AC：CE=1： $\text{[math]}$ ，即AC：CB=1： $\text{[math]}$ ，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°
当AC：AE：CE= $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ：1时，AC：CE= $\text{[math]}$ ：1，即AC：CB= $\text{[math]}$ ：1，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠A0C=120°，
综上可知：∠AOC=60°或120°．
分析：1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可；
（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a²+b²=c²与a²+c²=2b²，用a表示出b与c，即可求得答案；
（3）①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；
②利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE=1： $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与AC：AE：CE= $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ：1去分析，即可求得结果．
点评：此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．