Question

9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），直线l：y=-1．动点P满足条件：
①P在这个平面直角坐标系中；
②P到A的距离和P到l的距离相等；
（1）求点P所经过的轨迹方程，并在网格中绘制这个图象．（提示：平面直角坐标系中两点之间的距离可以通过勾股定理来求得）
（2）已知直线y=kx+1，小明同学说，这条直线与（1）中所绘的图象有两个交点？你能说明小明为什么这么说吗？
（3）经过了上述的计算、绘图，小明发现，如果第（2）问的两个交点分别为B、C，那么，过BC的中点M作直线l的垂线，垂足为H，连接BH、CH，所得到的三角形BCH是个特殊的三角形，你能说明它是什么三角形吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）设出P点坐标，表示出P到A的距离和P到l的距离相等，可求得其轨迹方程，可画出图象；
（2）联立直线与抛物线解析式利用一元二次方程的判别式可判断得出；
（3）过B作BB′⊥l于B′，过C作CC′⊥l于C′，由条件可证明MH为梯形BB′C′C的中位线，可证得△BCH为直角三角形．

解答 解：
（1）设P的坐标为P（x，y），由题意得：$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=|y+1|，
两边平方得：x²+（y-1）²=（y+1）²，
∴y=$\frac{1}{4}$x²，即P的轨迹为一抛物线，其图象如图1所示；

（2）抛物线直线方程联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，消去y可得x²-4kx-4=0，
∴△=16k²+16＞0，
∴直线y=kx+1与抛物线有两个交点；
（3）如图2，过B作BB′⊥l于B′，过C作CC′⊥l于C′，

由（1）中的条件可得BB′=BA，CC′=CA，
∴BC=BA+AC=BB′+CC′，
又由题意可得MH是梯形BB′C′C的中位线，
∴MH=$\frac{1}{2}$（BB′+CC′）=$\frac{1}{2}$BC，
∴MB=MC=MH，
∴△BHC是以∠BHC为直角的直角三角形．

点评 本题为一次函数与二次函数的综合应用，涉及勾股定理、函数图象的交点、根的判别式、梯形中位线定理、直角三角形的判定等知识．在（1）中注意利用题目中所给的提示，在（2）中注意利用直线与抛物线交点个数与一元二次方程根的判别式的关系，在（3）中证得MH=MB=MC是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．