Question

10．（一）问题：你能比较两个数2010²⁰¹¹和2011²⁰¹⁰的大小吗？
为解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n为自然数），然后从简单情形入手，从中发现规律，经过归纳猜想出结论．
（1）通过计算，比较下列各组数的大小：
①1²＜2¹；②2³＜3²；③3⁴＞4³；④4⁵＞5⁴；⑤5⁶＞6⁵…
（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想出nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n≥3）
（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：
①2010²⁰¹¹＞2011²⁰¹⁰；②-2010²⁰¹¹＜-2011²⁰¹⁰
（二）请比较大小：
$\frac{{2}^{2011}+1}{{2}^{2012}+1}$＞$\frac{{2}^{2012}+1}{{2}^{2013}+1}$（直接写出猜想结果不必简述理由）．

Answer 1

分析 （1）根据有理数的乘方的定义分别进行计算，再进行比较即可；
（2）根据上述得出的答案解答即可；
（3）①根据（2）的结论解答即可，②根据不等式性质，两边同时除以-1，不等号方向不变；
（4）分别通分后，比较分子的大小即可．

解答 解：（1）①1²=1，2¹=2，则1^2＜2¹；
②2³=8，3²=9，则2³＜3²；
③3⁴=81，4³=64，则3⁴＞4³；
④4⁵=1024，5⁴=625，则4⁵＞5⁴；
⑤5⁶=15625，6⁵=7776，则5⁶＞6⁵；
故答案为：＜，＜，＞，＞，＞；
（2）从上面的结果经过归纳，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系是：
当n＜3时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
故答案为：＞；
（3）①∵2010＞3，
∴2010²⁰¹¹＞2011²⁰¹⁰．
②-2010²⁰¹¹＜-2011²⁰¹⁰，
故答案为：＞，＜；
（4）∵$\frac{{2}^{2011}+1}{{2}^{2012}+1}$=$\frac{（{2}^{2011}+1）（{2}^{2013}+1）}{（{2}^{2012}+1）（{2}^{2013}+1）}$=$\frac{{2}^{4024}+{2}^{2011}+{2}^{2013}+1}{（{2}^{2012}+1）（{2}^{2013}+1）}$，
$\frac{{2}^{2012}+1}{{2}^{2013}+1}$=$\frac{（{2}^{2012}+1）^{2}}{（{2}^{2012}+1）（{2}^{2013}+1）}$，
∵（2²⁰¹²+1）²=2⁴⁰²⁴+2×2²⁰¹²+1=2⁴⁰²⁴+2²⁰¹³+1＜2⁴⁰²⁴+2²⁰¹¹+2²⁰¹³+1，
∴$\frac{{2}^{2011}+1}{{2}^{2012}+1}$＞$\frac{{2}^{2012}+1}{{2}^{2013}+1}$；
故答案为：＞．

点评 本题考查了有理数的乘方，有理数的大小比较、不等式的性质，理解有理数的乘方的意义准确计算是解题的关键．