题目内容
9．
如图，菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点P处，折痕分别为EF、GH．重合点P在对角线BD上移动，设折痕EF的长为m．请你分别判断以下结论的真假，并给出理由．（1）若∠ABC=60°，六边形AEFCHG的周长是4+2m；
（2）若∠ABC=90°，六边形的面积的最大值是3；
（3）若∠ABC=120°，六边形AEFCHG的面积关于折痕的长m的函数关系式是：SAEFCHG=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m2+m+$\sqrt{3}$（0$＜m＜2\sqrt{3}$）；
（4）若∠ABC的大小为2α（其中α是锐角），六边形AEFCHG的周长是4+4sinα．
分析 （1）根据题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，再根据菱形的性质即可求解；
（2）根据题意可知四边形BEPF和四边形DGPH是正方形，再根据正方形的性质即可求解；
（3）根据题意可知EF+GH=AC，再根据三角函数和菱的性质即可求解；
（4）根据题意可知EF+GH=AC，再根据三角函数和菱形的性质即可求解．
解答 解：（1）错；若∠ABC=60°，由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，
∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．
∴六边形AEFCHG的周长为 6，六边形AEFCHG的周长为6是定值，与折痕EF的长m无关；
（2）对；若∠ABC=90°，${S_{AEFCHG}}={S_{△BCD}}+{S_{AEPG}}=2+\frac{{\sqrt{2}m}}{2}（2-\frac{{\sqrt{2}m}}{2}）=-\frac{1}{2}{m^2}+\sqrt{2}m+2$SAEFCHG最大值=$\frac{{4×（-\frac{1}{2}）×2-{{（\sqrt{2}）}^2}}}{{4×（-\frac{1}{2}）}}=3$；
（3）对；SAEFCHG=S△BCD+SAEPG=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}$+$\frac{{\sqrt{3}m}}{3}（2-\frac{{\sqrt{3}m}}{3}）×\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$-\frac{{\sqrt{3}}}{6}{m^2}+m+\sqrt{3}$（0＜m＞2$\sqrt{3}$）；
（4）对；若∠ABC的大小为2α，由题意可知EF+GH=AC，则六边形AEFCHG的周长可表示为2×2+2×sinα×2=4+4sinα．
点评 考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，本题关键是得到EF+GH=AC，综合性较强，有一定的难度
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如图，直线AB和CD相交于点O，∠AOD=100°，则∠AOC的度数为（ ）| A． | 120° | B． | 100° | C． | 90° | D． | 80° |
如图为甲、乙、丙三根笔直的木棍平行摆放在地面上的情形．已知乙有一部分只与甲重迭，其余部分只与丙重迭，甲没有与乙重迭的部分的长度为1公尺，丙没有与乙重迭的部分的长度为2公尺．若乙的长度最长且甲、乙的长度相差x公尺，乙、丙的长度相差y公尺，则乙的长度为多少公尺？（ ）| A． | x+y+3 | B． | x+y+1 | C． | x+y-1 | D． | x+y-3 |
如图，二次函数y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点坐标是（8，6）．| A． | 小王的捐款数不可能最少 | |
| B． | 小王的捐款数可能最多 | |
| C． | 将捐款数按从少到多排列，小王的捐款数可能排在第十二位 | |
| D． | 将捐款数按从少到多排列，小王的捐款数一定比第七名多 |
如图，矩形OABC的两个顶点A，C分别在y轴和x轴上，边AB和BC与反比例函数y1=$\frac{4}{x}$（x＞0）和y2=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）图象交于E，F和点H，G．AE：AF=2：3．